نمونه سوالات هندسه تحلیلی و جبر خطی

نمونه سوالات دین و زندگی سال یازدهم
خلاصه درس فیزیک یازدهم
خلاصه درس فیزیک یازدهم
نمونه سوالات هندسه تحلیلی و جبر خطی

نمونه سوالات هندسه تحلیلی و جبر خطی

نمونه سوالات هندسه تحلیلی و جبر خطی همراه با جواب های نمونه سوالات درسی

۱٫ شعاع دايره‌اي كه از سه نقطه‌ي A(۲,۱) ، B(۲,−۳) و C(−۱,۱) مي‌گذرد، كدام است؟

۱) ۵
۲) ۵−−√
۳) ۵۲
۴) ۵−−√۲

۲٫ نقاط A(۳,۱) و B(−۱,۳) و مبدأ مختصات، سه رأس يك مثلث‌اند، شعاع دايره‌ي محيطي اين مثلث كدام است؟
۱) ۲۳−−√
۲) ۲۲−−√
۳) ۵−−√
۴) ۲۵−−√

۳٫ كمترين فاصله‌ي نقاط دايره‌ي x۲+y۲−۲x=۰ از نقطه‌ي A(۱,۲) كدام است؟
۱) ۱۲
۲) ۱
۳) ۳۲
۴) ۲−−√

۴٫ دايره‌اي از نقاط A(−۱,۲) و B(۳,۲) گذشته و مركز آن روي خط y=۳x است. شعاع دايره كدام است؟
۱) ۲
۲) ۳−−√
۳) ۴
۴) ۵−−√

۵٫ دایره ای از دو نقطهی A=(۴,−۵) و B=(−۲,۳)میگذرد و مرکز آن روی خط D:۳x+y−۱۷=۰ قرار دارد. شعاع این دایره برابر کدام است؟
۱) ۶
۲) ۳۵−−√
۳) ۵۲−−√
۴) ۸

۶٫ نقطه ی P=(x,y) با مختصات مثبت به گونهای حرکت میکند که مربع فاصلهی آن از نقطهی A=(۰,۴) برابر است با دو برابر مجموع فواصل آن از محورهای مختصات. در مکان هندسی P، بیشترین فاصله ای دو نقطه از یکدیگر کدام است؟
۱) ۸
۲) ۲۱۰−−√
۳) ۸۲−−√
۴) ۲۰

۷٫ به ازای کدام مقدار m خط ۲x−۳y+m=۲ بر دایره x۲+y۲−۴x+۶y=۰ مماس است؟
۱) ۲,−۲۴
۲) ۲,−۱۵
۳) ۳,−۱۸
۴) ۳,−۱۶

۸٫ مکان هندسی نقطه متحرک M(x,y) به طوری که فاصله آنها از نقطه (۲,−۱) ، ۲−−√ برابر فاصله آنها از نقطه (۱,−۲) باشد، دایرهای به کدام مرکز و شعاع است؟
۱) (−۱,۱),R=۳−−√
۲) (۰,۱),R=۲
۳) (۱,−۳),R=۴
۴) (۰,−۳),R=۲

۹٫ دو دایره C۱:x۲+y۲−۲x−۷=۰ و C۲:x۲+y۲−۲y−۱=۰ نسبت به هم کدام وضع را دارند؟
۱) مماس داخل
۲) مماس خارج
۳) متداخل
۴) متقاطع

 

نمونه سوالات هندسه تحلیلی و جبر خطی

نمونه سوالات هندسه تحلیلی و جبر خطی

 

 

جواب نمونه سوالات هندسه تحلیلی و جبر خطی

 

جواب سوال ۱
گزینه ۳ میباشد
 راه‌حل اول: AB=(۰,۴)AC=(۳,۰)ABAC=۰ABAC
 

بنابراين زاويه‌ي A در مثلث ABC قائمه است. در نتيجه BC  قطر دايره‌ي گذرا از اين سه نقطه است.

(زاويه‌ي محاطي رو به قطر ۹۰
  است.)
۲r=|BC|=(۱۲)۲+(۱+۳)۲−−−−−−−−−−−−−−−−√=۹+۱۶−−−−−√=۵r=۵۲
 

راه‌حل دوم: فرض مي‌كنيم O(α,β) مركز دايره‌ي موردنظر باشد. در اين صورت چون  B ، A  و  C روي اين دايره هستند، داريم:

{|OA|۲=|OB|۲|OA|۲=|OC|۲⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪(α۲)۲+(β۱)۲=(α۲)۲+(β+۲)۲(α۲)۲+(β۱)۲=(α+۱)۲+(β۱)۲
 
{β۲۲β+۱=β۲+۶β+۹α۲۴α+۴=α۲+۲α+۱⎧⎩⎨⎪⎪α=۱۲β=۱
 
بنابراين شعاع دايره برابر است با: r=|OA|=(۲۱۲)۲+(۱+۱)۲−−−−−−−−−−−−−−−−⎷=۹۴+۴−−−−−√=۲۵۴−−−√=۵۲
 

راه‌حل سوم: معادله‌ي گسترده‌ي يك دايره به‌صورت X۲+Y۲+aX+bY+c=۰ است. چون B ،  A و  C روي اين دايره هستند. مختصات آن‌ها در معادله‌ي دايره صدق مي‌كند. بنابراين مختصات آن‌ها را در معادله‌ي فوق قرار مي‌دهيم و ضرايب مجهول  b ،  a و  c را به‌دست مي‌آوريم:

 ⎧⎩⎨⎪⎪۵+۲a+b+c=۰۱۳+۲a۳b+c=۰۲a+b+c=۰(۱)(۲)(۳)
 

اگر معادله‌ي دوم را از معادله‌ي اول كم كنيم، داريم ۴b۸=۰ ، بنابراين  b=۲
با قرار دادن  b=۲ در معادله‌ي دوم و سوم و حل دستگاه دو معادله و دو مجهول حاصل a  و c  را به‌دست مي‌آوريم:

 {۲a+c=۷a+c=۴(۲)(۳){a=۱c=۵
 

بنابراين معادله‌ي دايره به‌صورت زير است:

x۲+y۲x+۲y۵=۰(x۱۲)۲۱۴+(y+۱)۲۱۵=۰(x۱۲)۲+(y+۱)۲=۲۵۴
 
r=۲۵۴−−−√=۵۲
  شعاع دايره
 
 
جواب سوال ۲
گزینه ۳ میباشد

راه كلي به‌دست آوردن شعاع دايره‌ي محيطي آن است كه مركز دايره‌ي محيطي (محل تلاقي عمود منصف‌ها) را به‌دست آورده فاصله‌ي آن را از  رئوس مثلث به‌دست آوريم

    
 اما معمولاً در تست‌ها، مثلث در يكي از حالات قائم‌الزاويه يا متساوي‌الاضلاع مورد پرسش قرار مي‌گيرد. در اين‌جا چون  OA∣∣∣۳۱

 و OB∣∣∣۱۳  است، پس:

 OAOB=۳(۱)+۱(۳)=۰
 

لذا مثلث OAB  قائم‌الزاويه است.
در مثلث قائم‌الزاويه وسط وتر مركز دايره محيطي و نصف وتر شعاع دايره‌ي محيطي است:

 |AB|=(۳+۱)۲+(۳۱)۲−−−−−−−−−−−−−−−√=۲۰−−√=۲۵−−√
 
 
 
جواب سوال ۳
گزینه ۲ میباشد
راه‌ حل اول: براي به‌دست آوردن نزديك‌ترين و دورترين نقاط يك دايره از نقطه‌ي داده شده، ابتدا قطر (يا امتداد قطري) كه از نقطه‌ي داده شده مي‌گذرد را رسم مي‌كنيم.

يكي از نقاط تقاطع اين قطر (يا امتداد قطر) با دايره، نزديك‌ترين نقطه و نقطه‌ي تقاطع ديگر دورترين نقطه است.

  {Lmax=بیشترین فاصله=AN=OA+RLmin=کمترین فاصله=AM=OAR
 
 

 :A

خارج دایره است
  {Lmax=بیشترین فاصله=AN=OA+RLmin=کمترین فاصله=AM=ROA
 
 

:A

داخل دایره است
 x۲+y۲۲x=۰(x۱)۲+y۲=۱⎧⎩⎨⎪⎪O=∣∣∣۱۰R=۱

A خارج دایره است c(۱,۱۲)=۱۲+۱۲۲۲(۱)>۰

 
d=OA=۰+۴−−−−−√=۲|AM|=|dR|=|۲۱|=۱
 
راه‌ حل دوم: ابتدا شكل را رسم مي‌كنيم:
با توجه به شكل واضح است كه كمترين فاصله‌ي نقطه‌ي A

از دايره برابر ۱

است.
 
 
جواب سوال ۴
گزینه ۴ میباشد
روش اول

) چون مركز دايره از نقاط A  و B  به يك فاصله است، پس بايد مركز روي عمود منصف  AB باشد كه مطابق شكل خط  x=۱ است، بنابراين براي يافتن مركز بايد خط  x=۱ را با خط  y=۳x قطع دهيم:

 
O(۱,۳)

  مركز {y=۳xx=۱

 

R=OA=OB=۴+۱−−−−√=۵−−√  −→−−−−−−−−−−−−− از نقاط شعاع است  فاصله مرکز از هر یک 

البته روش كلي يافتن عمود منصف يك پاره‌خط آن است كه نقطه‌ي مياني A  و  B را به‌دست آوريم (M=A+B۲)  سپس شيب  AB را محاسبه و قرينه و معكوس كنيم تا شيب خط عمود به‌دست آيد.

 :x=۱

عمود منصف  mAB=ΔyΔx=۲۲۳(۱)=۰m=M=A+B۲=∣∣∣۱۲⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

روش دوم

) O∣∣αβ مرکز دایره است.

O∣∣αβy=۳xβ=۳αO∣∣α۳α

|OA|=|OB|(α+۱)۲+(۳α۲)۲−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=(α۳)۲+(۳α۲)۲−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√−→−−−۲توانα=۱β=۳α=۳O∣∣۱۳R=|OA|=۲۲+۱۲−−−−−−√=۵−−√

 
 
 
جواب سوال ۵
گزینه ۳ میباشد
مرکز دایره نقطه تلاقی خط D و عمود منصف پارهخط AB است. این عمود منصف را خط Δ مینامیم. معادله خط Δ را به دست میآوریم:
m=yByAxBxA=۳+۵۲۴=۴۳

  (شیب خط AB)
ΔABm=۱mAB=۳۴
M=(xA+xB۲,yA+yB۲)=(۱,۱)  نقطه وسط AB
Δ:y+۱=۳۴(x۱)Δ:۳x۴y۷=۰
O:(۳x+y۱۷=۰,۳x۴y۷=۰)O=(۵,۲)  مرکز دایره
R=OA=(۴۵)۲+(۵۲)۲−−−−−−−−−−−−−−−−√=۵۰−−√=۵۲−−√

 
 
 
جواب سوال ۶
گزینه ۲ میباشد
طبق داده های سوال باید داشته باشیم:
۲(x+y)=|PA|۲۲x+۲y=x۲+(y۴)۲x۲+y۲۸y+۱۶۲x۲y=۰

 

حال با دسته بندی و مرتبسازی جملهها داریم:
(x۱)۲+(y۵)۲۱۲۵+۶=۰(x۲)۲+(y۵۰)۲=۱۰

 

این معادله، معادله

ی دایرهای به شعاع ۱۰−−√ است (به دلیل مثبت بودن مختصات x و y ، عملاً بخشی از یک دایره را شامل میشود که باتوجه به معادله، بزرگتر از نیمدایره است). میدانیم که بیشترین فاصلهی میان نقاط دایره، برابر با اندازهی قطر آن است که در این جا برابر میشود با ۲۱۰−−√

.
 
 
جواب سوال ۷
گزینه ۱ میباشد

معادله استاندارد دایره چنین است.

 (x۲)۲+(y+۳)۲=۱۳
 

فاصله مرکز دایره (۲,۳) از خط مماس ۲x۳y+m۲=۰  برابر شعاع دایره است.

 ∣∣∣۴+۹+m۲۱۳−−√∣∣∣=۱۳−−√۱۱+m=±۱۳m=۲,۴۴
 
 
 
جواب سوال ۸
گزینه ۴ میباشد
M(x,y)A(۲,۱)B(۱,۲)|MA|=۲−−√|MB|(x۲)۲+(y+۱)۲=۲[(x۱)۲+(y+۲)۲]x۲۴x+۴+y۲+۲y+۱=۲x۲۴x+۲+۲y۲+۸y+۸x۲+y۲+۶y+۵=۰x۲+(y+۳)۲=۴

 

مرکز دایره به مختصات (۰,۳) و شعاع آن R=۲ است.
 
 
جواب سوال ۹
گزینه ۱ میباشد
ابتدا مراکز و شعاع دو دایره را می یابیم:

C۱:(x۱)۲۱+y۲۷=۰(x۱)۲+y۲=۸

O۱(۱,۰),R۱=۸−−√=۲۲−−√
C۲:x۲+(y۱)۲۱۱=۰x۲+(y۱)۲=۲
O۲(۰,۱),R۲=۲−−√
O۱O۲=(۰۱)۲+(۱۰)۲−−−−−−−−−−−−−−−−√=۲−−√
۲−−√=۲۲−−√۲−−√O۱O۲=R۱R۲

چون O۱O۲=R۱R۲
 بنابراین دو دایره مماس داخل هستند.
 
 
جواب سوال ۱۰
گزینه ۱ میباشد
نکته: معادله ی خطی که از دو خط موازی ax+by+c=۰ و ax+by+c۱=۰ به یک فاصله باشد، عبارتست از :
ax+by+c+c۲=۰
 

مراکز این دایره‌ها از هر دو خط موازی y=x۴ و y=x+۲ به یک فاصله هستند.
بنابراین بر روی خطی هستند که از این دو خط به یک فاصله است. با توجه به نکته ی بالا معادله ی این خط عبارت است از:

 
y=x+۴+۲۲=x۱
 

 

سوالات این صفحه منتخبی از نمونه سوالات هندسه تحلیلی و جبر خطی  بود که جواب سوالات را نیز مشاهده کردید

در آموزشگاه کنکور پرستو علاوه بر مشاوره و  برنامه ریزی در کنکور با نحوه برگزاری آزمون کنکور و تست زدن در کنکور بیشتر آشنا خواهید شد

 

 

دیدگاهتان را بنویسید